Intervalles de confiance et p-values

Les intervalles de confiance et les p-values sont des concepts fondamentaux en statistique inférentielle. Ils permettent de quantifier l’incertitude autour des estimations faites à partir d’un échantillon de données. Ils sont utilisés pour tester des hypothèses et estimer des paramètres inconnus d’une population à partir des données disponibles.

🔹 Intervalle de confiance

Un intervalle de confiance (IC) est une plage de valeurs qui, selon un certain niveau de confiance, contient le paramètre inconnu d’une population. Par exemple, si nous estimons la moyenne d’une population à partir d’un échantillon, un intervalle de confiance nous donne une fourchette dans laquelle la véritable moyenne de la population devrait se situer avec une certaine probabilité.

1. Formule de l’intervalle de confiance pour la moyenne (avec écart-type connu)

Pour une population normalement distribuée, l’intervalle de confiance pour la moyenne $\mu$ est donné par :

$$IC = \bar{x} \pm Z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$

• $\bar{x}$ : la moyenne de l’échantillon.

• $Z_{\alpha/2}$ : la valeur de la statistique de normalité correspondant au niveau de confiance (par exemple, pour un intervalle de confiance à 95%, $Z_{\alpha/2} \approx 1.96$.

• $\sigma$ : l’écart-type de la population.

• $n$ : la taille de l’échantillon.

2. Intervalle de confiance pour une moyenne (écart-type inconnu)

Si l’écart-type de la population est inconnu, on utilise la distribution t de Student :

$$IC = \bar{x} \pm t_{\alpha/2, n-1} \cdot \frac{s}{\sqrt{n}}$$

• $t_{\alpha/2, n-1}$ : la statistique t correspondant au niveau de confiance et aux degrés de liberté $n-1$.

• $s$ : l’écart-type de l’échantillon.

3. Interprétation

Si nous avons un intervalle de confiance de 95% pour une moyenne, cela signifie que si nous répétions l’expérience de nombreuses fois, 95% des intervalles construits à partir de nouveaux échantillons contiendraient la vraie moyenne de la population.

🔹 p-value

La p-value est une mesure qui permet de tester une hypothèse nulle en statistique. Elle indique la probabilité d’observer les résultats obtenus (ou des résultats plus extrêmes) si l’hypothèse nulle était vraie. En d’autres termes, la p-value permet de déterminer si les résultats d’une étude sont statistiquement significatifs.

1. Interprétation de la p-value

• Si la p-value est inférieure au seuil de signification (généralement 0.05), on rejette l’hypothèse nulle. Cela signifie que les données observées sont suffisamment improbables sous l’hypothèse nulle pour justifier son rejet.

• Si la p-value est supérieure au seuil de signification, on ne rejette pas l’hypothèse nulle, ce qui suggère qu’il n’y a pas suffisamment de preuves pour conclure que l’hypothèse nulle est fausse.

2. Formule de la p-value

La p-value dépend de la statistique de test (t, χ², F, etc.) et de la distribution associée. Par exemple, pour un test t, la p-value est la probabilité d’obtenir une statistique t aussi extrême ou plus extrême que celle observée, sous l’hypothèse nulle.

$$p = P(\text{statistique observée} \geq \text{statistique sous H₀})$$

3. Erreur de Type I et Type II

• Erreur de Type I (α) : rejet incorrect de l’hypothèse nulle lorsqu’elle est vraie. Cela correspond à un faux positif.

• Erreur de Type II (β) : non rejet de l’hypothèse nulle lorsqu’elle est fausse. Cela correspond à un faux négatif.

📊 Relation entre p-value et intervalle de confiance

Les p-values et les intervalles de confiance sont étroitement liés. Si l’intervalle de confiance pour un paramètre (par exemple, une moyenne) ne contient pas la valeur spécifiée sous l’hypothèse nulle, cela implique que la p-value associée à ce test est inférieure au seuil de signification (souvent 0.05).

• Par exemple, si un intervalle de confiance à 95% pour une différence de moyennes ne contient pas zéro, cela correspond à une p-value inférieure à 0.05, ce qui permet de rejeter l’hypothèse nulle.

📌 Bonnes pratiques pour utiliser p-value et intervalles de confiance

• Ne pas se focaliser uniquement sur la p-value : une p-value faible peut indiquer une différence statistiquement significative, mais cela ne signifie pas nécessairement que la différence est d’une grande importance pratique.

• Interpréter les intervalles de confiance : ils fournissent une estimation plus riche que la p-value, en montrant la plage dans laquelle le paramètre inconnu pourrait se situer.

• Tenir compte des erreurs de type I et II : il est important de comprendre la puissance du test et de bien choisir le seuil de signification.

Conclusion

Les intervalles de confiance et les p-values sont deux concepts essentiels pour tirer des conclusions en statistique. Tandis que les intervalles de confiance fournissent une estimation de la plage probable d’un paramètre, les p-values aident à tester des hypothèses sur la base des données. Ces outils sont utilisés ensemble pour réaliser une analyse statistique robuste.