Introduction aux séries temporelles

L’analyse de séries temporelles est une branche des statistiques qui se concentre sur l’étude des données collectées ou mesurées à des intervalles réguliers dans le temps. Cette analyse est cruciale pour la modélisation, la prévision et la compréhension des comportements des phénomènes dynamiques qui évoluent au fil du temps.

🔹 Qu’est-ce qu’une série temporelle ?

Une série temporelle est une séquence de données observées ou mesurées à des moments successifs, généralement à intervalles réguliers. Ces données peuvent provenir de diverses sources, comme les ventes mensuelles d’une entreprise, les températures quotidiennes, ou les indices boursiers.

Les séries temporelles sont souvent utilisées pour modéliser et prévoir les comportements futurs de phénomènes dont les valeurs passées influencent les valeurs futures.

🔹 Composantes d’une série temporelle

Une série temporelle peut généralement être décomposée en plusieurs composantes principales :

1. Tendance (Trend) : C’est la direction générale du mouvement des données sur une période prolongée. La tendance peut être croissante, décroissante ou stable.

2. Saisonnière (Seasonality) : Ce sont des fluctuations régulières et périodiques dans les données qui se répètent à intervalles fixes, souvent dues à des facteurs saisonniers. Par exemple, les ventes de vêtements d’hiver augmentent généralement chaque hiver.

3. Cyclicité (Cyclicality) : Contrairement à la saisonnalité, les cycles sont des fluctuations à long terme, souvent liées aux conditions économiques, qui n’ont pas une périodicité fixe.

4. Aléatoire (Randomness ou Noise) : Ce sont des variations imprévisibles et erratiques qui ne suivent aucune structure discernable. Elles peuvent être dues à des événements exceptionnels ou à des erreurs de mesure.

5. Niveau (Level) : Il représente le niveau moyen des valeurs de la série au fil du temps, après avoir pris en compte les autres composantes.

🔹 Stationnarité

Une série temporelle est dite stationnaire lorsque ses propriétés statistiques (moyenne, variance, autocorrélation) ne varient pas dans le temps. Cela signifie que le comportement de la série reste constant à travers différentes périodes.

Les séries temporelles non-stationnaires ont tendance à afficher des tendances ou des variations saisonnières et doivent souvent être transformées (par exemple, en prenant les différences entre les valeurs) pour les rendre stationnaires avant d’appliquer certaines méthodes d’analyse.

• Stationnarité en moyenne : La moyenne de la série ne change pas au cours du temps.

• Stationnarité en variance : La variance des valeurs de la série reste constante.

• Stationnarité en covariance : La relation entre les observations à différents moments ne change pas au cours du temps.

🔹 Autocorrélation et Fonction d’Autocorrélation

L’autocorrélation mesure la dépendance entre les observations d’une série temporelle à différents moments. Autrement dit, elle examine comment une valeur passée dans la série peut être liée à une valeur future.

La fonction d’autocorrélation (ACF – Autocorrelation Function) est une fonction qui quantifie cette relation à différents décalages (lags) dans le temps.

• Une forte autocorrélation suggère qu’il existe une dépendance marquée entre les valeurs passées et futures.

• Une faible autocorrélation suggère que les observations sont largement indépendantes.

🔹 Modélisation des séries temporelles

Les séries temporelles peuvent être modélisées à l’aide de diverses techniques statistiques et de machine learning. Parmi les plus courantes, on trouve :

1. Modèles AR (AutoRégressifs) : Ces modèles prédisent la valeur future d’une série en fonction de ses propres valeurs passées.

2. Modèles MA (Moyenne Mobile) : Ces modèles utilisent les erreurs passées (différences entre les valeurs observées et les valeurs prédites) pour prédire les valeurs futures.

3. Modèles ARMA (AutoRégressifs et Moyenne Mobile) : Combinant les deux précédents, ces modèles sont utilisés pour les séries temporelles stationnaires.

4. Modèles ARIMA (AutoRégressifs Intégrés et Moyenne Mobile) : Un modèle ARMA amélioré pour gérer les séries temporelles non-stationnaires, en intégrant la différenciation des séries avant leur modélisation.

5. Modèles SARIMA (ARIMA saisonnier) : Ce modèle est une extension de l’ARIMA qui prend en compte les composantes saisonnières des séries temporelles.

6. Modèles de lissage exponentiel : Ces modèles (comme Holt-Winters) attribuent un poids plus important aux observations récentes pour prévoir les valeurs futures.

🔹 Prévisions et Validation de Modèles

L’objectif principal de l’analyse des séries temporelles est souvent la prévision des valeurs futures. Une fois un modèle choisi, il est essentiel de valider ses performances en utilisant des techniques comme la validation croisée ou en divisant les données en ensembles d’entraînement et de test.

L’évaluation de la performance d’un modèle peut se faire à l’aide de différentes métriques de précision, telles que :

• Erreur absolue moyenne (MAE – Mean Absolute Error)

• Erreur quadratique moyenne (RMSE – Root Mean Squared Error)

• Métriques basées sur la proportion des erreurs (MAPE – Mean Absolute Percentage Error)

🔹 Décomposition des séries temporelles

La décomposition d’une série temporelle consiste à séparer ses différentes composantes (tendance, saisonnalité, bruit) pour les analyser séparément. Cela peut être fait à l’aide de méthodes telles que la décomposition STL (Seasonal and Trend decomposition using Loess) ou la décomposition classique.

📌 Applications de l’analyse de séries temporelles

Les séries temporelles sont utilisées dans divers domaines, notamment :

• Économie et finance : Prévision des prix des actions, taux de change, ou des indicateurs économiques.

• Santé publique : Analyse des tendances de la propagation de maladies.

• Production et logistique : Prévision de la demande pour une planification des ressources.

• Environnement : Suivi des tendances climatiques ou des niveaux de pollution.

Conclusion

L’analyse des séries temporelles est essentielle pour comprendre et prévoir les phénomènes dynamiques. Que ce soit pour des prévisions économiques, des études environnementales ou des analyses de données de vente, une maîtrise des concepts de base tels que la stationnarité, l’autocorrélation, et les modèles de prévision est fondamentale pour interpréter correctement les données temporelles.