Méthode de Hodrick-Prescott

La méthode de Hodrick-Prescott (HP filter) est un outil de filtrage utilisé principalement pour extraire la tendance d’une série temporelle tout en éliminant les fluctuations cycliques à court terme. Elle est largement utilisée en macroéconomie pour séparer la tendance à long terme des fluctuations économiques à court terme. Ce filtrage peut être appliqué à une série temporelle avec une tendance non linéaire.

1. Concept du Filtrage de Hodrick-Prescott

Le filtre HP sépare une série temporelle $y_t$ en deux composants :

• La tendance ($\tau_t$) : la composante à long terme qui reflète les mouvements sous-jacents de la série.

• Les cycles ($c_t$) : la composante à court terme qui représente les fluctuations autour de la tendance.

La méthode repose sur la minimisation d’un problème d’optimisation où l’on cherche à minimiser la différence entre la série observée et la tendance, tout en pénalisant les variations trop rapides de la tendance. Plus formellement, on cherche à résoudre le problème suivant :

$$\min_{\tau_t} \left[ \sum_{t=1}^{T} (y_t – \tau_t)^2 + \lambda \sum_{t=2}^{T-1} \left[ (\tau_{t+1} – \tau_t) – (\tau_t – \tau_{t-1}) \right]^2 \right]$$

• Le premier terme mesure l’ajustement entre la série observée et la tendance.

• Le second terme pénalise les changements trop importants dans la tendance (en imposant une certaine douceur).

L’hyperparamètre $\lambda$ détermine la rigidité de la tendance :

• Un $\lambda$ élevé pénalise fortement les changements rapides dans la tendance, ce qui la rend plus lisse.

• Un $\lambda$ faible autorise plus de variations dans la tendance, ce qui permet à la série de suivre de plus près les données observées.

2. Valeur du Paramètre $\lambda$

La valeur de $\lambda$ dépend de la fréquence de la série temporelle :

• $\lambda = 1600$ : pour les séries temporelles trimestrielles (utilisé dans de nombreux contextes économiques).

• ( \lambda = 100 : pour les séries mensuelles.

• $\lambda = 6.25$ : pour les séries annuelles.