Modèle Exponentiel Lissé (ETS)

Le modèle Exponentiel Lissé (ETS) est une famille de modèles de séries temporelles qui utilise des moyennes mobiles exponentiellement pondérées pour lisser les données et effectuer des prévisions. Ce modèle est particulièrement utile pour les séries temporelles qui montrent des tendances ou des saisons. Il comprend des variations basées sur trois principaux composants :

  1. Composant de niveau (Level) : Il capture la valeur de base ou le niveau de la série temporelle.

  2. Composant de tendance (Trend) : Il modélise la direction ou la pente de la série temporelle (croissante ou décroissante).

  3. Composant saisonnier (Seasonality) : Il modélise les effets saisonniers ou cycliques présents dans la série temporelle.

Types de modèles ETS

Le modèle ETS est basé sur les combinaisons de trois types de comportements :

  1. Additif : Lorsque l’impact de la tendance ou de la saisonnalité est constant au fil du temps.

    • Modèle additif : Yt=Levelt+Trendt+SeasonalitytY_t = Level_t + Trend_t + Seasonality_t

  2. Multiplicatif : Lorsque l’impact de la tendance ou de la saisonnalité varie avec le niveau de la série.

    • Modèle multiplicatif : Yt=Levelt×Trendt×SeasonalitytY_t = Level_t \times Trend_t \times Seasonality_t

Composants du modèle ETS

1. Niveau (Level)

Le niveau représente la valeur moyenne de la série à un instant donné. Il est mis à jour par un lissage exponentiel.

2. Tendance (Trend)

Le modèle de tendance peut être linéaire ou exponentiel et capture la croissance ou la décroissance de la série.

3. Saison (Seasonality)

Le composant saisonnier capture les effets de la saisonnalité dans les données, comme les pics et les creux réguliers dans le temps.

Formulation mathématique du modèle ETS

1. Modèle Additif

Pour une série temporelle YtY_t, le modèle additif est donné par :

Yt=Levelt+Trendt+SeasonalitytY_t = Level_t + Trend_t + Seasonality_t

2. Modèle Multiplicatif

Le modèle multiplicatif est donné par :

Yt=Levelt×Trendt×SeasonalitytY_t = Level_t \times Trend_t \times Seasonality_t

Les paramètres de lissage pour chaque composant sont donnés par des équations de mise à jour exponentielle, permettant d’ajuster les valeurs au fil du temps.

Méthode de lissage exponentiel

L’objectif du lissage exponentiel est d’attribuer un poids décroissant aux observations les plus anciennes. La mise à jour des niveaux, tendances et saisonnalités est effectuée à chaque nouveau point de données en utilisant un facteur de lissage (α\alpha, β\beta, γ\gamma).

  • Lissage du niveau :

    Levelt=α⋅Yt+(1−α)⋅(Levelt−1+Trendt−1)Level_t = \alpha \cdot Y_t + (1 – \alpha) \cdot (Level_{t-1} + Trend_{t-1})

  • Lissage de la tendance :

    Trendt=β⋅(Levelt−Levelt−1)+(1−β)⋅Trendt−1Trend_t = \beta \cdot (Level_t – Level_{t-1}) + (1 – \beta) \cdot Trend_{t-1}

  • Lissage de la saisonnalité :

    Seasonalityt=γ⋅YtLevelt+(1−γ)⋅Seasonalityt−sSeasonality_t = \gamma \cdot \frac{Y_t}{Level_t} + (1 – \gamma) \cdot Seasonality_{t-s}

Où :

  • α\alpha : facteur de lissage pour le niveau (entre 0 et 1)

  • β\beta : facteur de lissage pour la tendance (entre 0 et 1)

  • γ\gamma : facteur de lissage pour la saisonnalité (entre 0 et 1)

  • ss : nombre de périodes dans une saison