Test de Mann-Whitney

Le test de Mann-Whitney, également appelé test U de Mann-Whitney, est un test non paramétrique utilisé pour comparer les différences entre deux groupes indépendants. Contrairement au test t de Student, qui fait l’hypothèse que les données suivent une distribution normale, le test de Mann-Whitney ne fait aucune hypothèse sur la distribution des données et est donc utilisé lorsque les données ne suivent pas une loi normale ou que les tailles d’échantillons sont petites.

Hypothèses du Test de Mann-Whitney

Hypothèse nulle (H₀) : Les deux groupes proviennent de la même population, ou, en d’autres termes, les distributions des deux groupes sont égales. Il n’y a pas de différence significative entre les groupes.
- H₀ : Les distributions des deux groupes sont identiques.
Hypothèse alternative (H₁) : Les deux groupes proviennent de populations différentes, ce qui signifie qu’il existe une différence significative entre les groupes.
- H₁ : Les distributions des deux groupes sont différentes.

Méthode de Calcul

Le test de Mann-Whitney repose sur le rang des valeurs dans les deux groupes. Le test compare les rangs des valeurs des deux groupes et calcule une statistique $U$ basée sur ces rangs.

U1 et U2 sont les statistiques de Mann-Whitney pour chaque groupe. Ces valeurs sont calculées à partir des rangs des observations dans les deux groupes.
La statistique $U$ est ensuite comparée à une distribution théorique pour déterminer la significativité du test.

Formules de Calcul de U

Calcul des rangs :
- Combine les données des deux groupes et attribue un rang à chaque valeur.
- Si deux valeurs sont égales, elles reçoivent le même rang (moyenne des rangs).
Calcul de U :
- $U_1 = R_1 – \frac{n_1(n_1 + 1)}{2}$ , où $R_1$ est la somme des rangs pour le premier groupe et $n_1$ est le nombre d’observations dans le premier groupe.
- $U_2 = R_2 – \frac{n_2(n_2 + 1)}{2}$ , où $R_2$ est la somme des rangs pour le second groupe et $n_2$ est le nombre d’observations dans le second groupe.
Statistique U : La plus petite des valeurs $U_1$ et $U_2$ est utilisée comme statistique U pour le test.

Interprétation des Résultats

Une fois que la statistique $U$ est calculée, il est comparé à la valeur critique d’une table de Mann-Whitney ou on peut également obtenir la p-value à partir de cette statistique.

Valeur p : Si la p-value est inférieure au niveau de signification $\alpha$ (généralement $\alpha = 0.05$ ), on rejette l’hypothèse nulle, ce qui signifie qu’il y a une différence significative entre les deux groupes.
Hypothèse nulle : Si la p-value est supérieure au seuil $\alpha$ , on ne rejette pas l’hypothèse nulle, ce qui suggère que les deux groupes proviennent de la même population.