Modélisation des séries temporelles

La modélisation des séries temporelles est un processus clé pour analyser les données temporelles afin de prédire des valeurs futures ou comprendre les comportements sous-jacents. Cette approche est utilisée dans des domaines comme la finance, l’économie, la météorologie, et bien d’autres, où les données sont collectées à intervalles réguliers. Elle permet de saisir les tendances, les cycles, et les saisons qui existent dans les données historiques et de construire des modèles capables de faire des prévisions sur des périodes à venir.

1. Modèle ARIMA (AutoRegressive Integrated Moving Average)

Le modèle ARIMA est l’un des modèles les plus utilisés pour les séries temporelles non stationnaires. Il est particulièrement adapté lorsque les données présentent des dépendances temporelles linéaires et que la série n’est pas stationnaire. Le modèle combine trois éléments : l’autoregression (AR), l’intégration (I), et la moyenne mobile (MA).

Structure du modèle ARIMA(p,d,q) :

• p : Le nombre de termes d’autoregression (AR), qui représente la dépendance des valeurs actuelles avec les valeurs passées.

• d : Le nombre de différenciations nécessaires pour rendre la série stationnaire.

• q : Le nombre de termes de moyenne mobile (MA), qui modélise l’effet de bruit aléatoire dans la série.

Exemple :

Si on souhaite prédire une série de ventes mensuelles, l’autoregression tiendra compte des ventes passées pour prévoir celles du mois suivant. La différenciation permet d’éliminer les tendances, et la moyenne mobile ajuste les erreurs aléatoires.

Formulation du modèle :

• Le modèle AR est basé sur l’idée que la valeur de la série à un instant $t$ dépend des valeurs passées :

  $$X_t = \phi_1 X_{t-1} + \phi_2 X_{t-2} + \dots + \phi_p X_{t-p} + \epsilon_t$$

  où $\epsilon_t$ est un terme d’erreur.

• La composante MA représente l’effet de l’erreur aléatoire :

  $$X_t = \mu + \theta_1 \epsilon_{t-1} + \theta_2 \epsilon_{t-2} + \dots + \theta_q \epsilon_{t-q}$$

• La composante I, quant à elle, consiste à différencier la série pour la rendre stationnaire.

2. Modèle SARIMA (Seasonal ARIMA)

Le modèle SARIMA est une extension du modèle ARIMA qui permet de modéliser des séries temporelles présentant une saisonnalité. Il intègre des termes saisonniers qui capturent les effets périodiques présents dans les données.

Structure du modèle SARIMA(p,d,q)(P,D,Q)m :

• (p,d,q) : Paramètres ARIMA classiques pour la partie non saisonnière.

• (P,D,Q) : Paramètres saisonniers pour l’autoregression, la différenciation, et la moyenne mobile à l’échelle saisonnière.

• m : La période de saisonnalité (par exemple, 12 pour des données mensuelles avec une saisonnalité annuelle).

Exemple :

Pour des séries de données de température mensuelle sur plusieurs années, le modèle SARIMA permettrait de modéliser non seulement la tendance générale, mais aussi les fluctuations saisonnières (ex. : hausse des températures en été et baisse en hiver).

Formulation du modèle SARIMA : Le modèle SARIMA peut être formulé comme une combinaison de termes saisonniers et non saisonniers :

$$X_t = \phi_1 X_{t-1} + \phi_2 X_{t-2} + \dots + \theta_q \epsilon_{t-q} + \dots$$

avec l’ajout de termes saisonniers :

$$X_t = \phi_1 X_{t-12} + \dots + \theta_q \epsilon_{t-12} + \dots$$

Les différences saisonnières (D) et les termes saisonniers (P, Q) permettent de mieux capturer les patterns répétitifs à des intervalles réguliers (par exemple, tous les 12 mois).

3. Modèle Exponentiel Lissé (ETS)

Le modèle Exponentiel Lissé (ETS) est une méthode de modélisation de séries temporelles qui repose sur l’idée que les prévisions sont une combinaison de plusieurs composantes : la tendance, la saisonnalité et le niveau des données. Cette méthode est particulièrement utile pour les séries temporelles avec des tendances et des effets saisonniers forts.

Il existe plusieurs variantes du modèle ETS, dont les plus courantes sont le lissage simple, le lissage avec tendance et le lissage avec saisonnalité.

Composants du modèle ETS :

1. Niveau (α) : Représente le « lissage » du niveau actuel de la série.

2. Tendance (β) : Représente le changement dans la série (croissance ou déclin).

3. Saisonnalité (γ) : Représente les variations saisonnières.

Formulation du modèle ETS : Le modèle ETS est généralement formulé en trois équations :

• Lissage du niveau :

  $$\hat{L}_t = \alpha X_t + (1 – \alpha) (\hat{L}_{t-1} + \hat{T}_{t-1})$$
  

• Lissage de la tendance :

  $$\hat{T}_t = \beta (\hat{L}_t – \hat{L}_{t-1}) + (1 – \beta) \hat{T}_{t-1}$$

• Lissage de la saisonnalité :

  $$\hat{S}_t = \gamma (X_t – \hat{L}_t) + (1 – \gamma) \hat{S}_{t-m}$$

  où $m$ est la périodicité saisonnière.

Une fois ces composants lissés, la prévision est faite par une combinaison de ces termes :

$$\hat{X}_{t+h} = \hat{L}_t + h \hat{T}_t + \hat{S}_{t+m}$$

où $h$ est l’horizon de prévision.

Exemple : Le modèle ETS peut être utilisé pour prédire les ventes mensuelles d’un produit, en prenant en compte une tendance générale (croissance ou baisse des ventes) ainsi qu’une saisonnalité (par exemple, des ventes plus importantes pendant les fêtes de fin d’année).

Conclusion

Les modèles de séries temporelles comme ARIMA, SARIMA et ETS sont des outils essentiels pour prédire et comprendre les comportements temporels des données. Ils permettent de capturer les tendances, la saisonnalité, et les cycles dans les données historiques et de faire des prévisions fiables pour des périodes futures. En fonction des caractéristiques spécifiques des données (saisonnières, stationnaires, avec tendance), ces modèles peuvent être choisis et ajustés pour obtenir les meilleures performances.