Tests de variance

Les tests de variance sont utilisés pour comparer la dispersion ou la variabilité entre deux ou plusieurs groupes de données. L’objectif est de tester l’égalité des variances entre les groupes, ce qui est essentiel pour certaines analyses statistiques, notamment les tests de comparaison de moyennes. Les tests de variance les plus couramment utilisés sont le test de Levene et le test de Bartlett.

1. Test de Levene

Le test de Levene est utilisé pour tester l’homogénéité des variances entre plusieurs groupes. Contrairement au test de Bartlett, qui est sensible aux distributions normales, le test de Levene est robuste et peut être utilisé même lorsque les données ne suivent pas une distribution normale. Ce test est souvent préféré dans les situations où l’on ne peut pas faire l’hypothèse de normalité.

• Hypothèses :

  • H₀ (hypothèse nulle) : Les variances des groupes sont égales.

  • H₁ (hypothèse alternative) : Les variances des groupes ne sont pas égales.

• Procédure : Le test de Levene repose sur la transformation des données, où l’on calcule les écarts absolus par rapport à la médiane (ou à la moyenne) des observations pour chaque groupe. Ces valeurs sont ensuite comparées à l’aide d’une analyse de variance (ANOVA).

• Formule pour le test de Levene (avec la médiane comme mesure de tendance centrale) :

  $$W = \frac{(N-k)}{(k-1)} \cdot \frac{\sum_{i=1}^{k} n_i (Z_i – \overline{Z})^2}{\sum_{i=1}^{k} \sum_{j=1}^{n_i} (Z_{ij} – Z_i)^2}$$

  Où :

  • $N$ est le nombre total d’observations dans tous les groupes,

  • $k$ est le nombre de groupes,

  • $Z_i$ est la médiane de chaque groupe,

  • $\overline{Z}$ est la moyenne des médianes,

  • $Z_{ij}$ est l’observation dans chaque groupe.

• Interprétation : Si la p-valeur est inférieure à un seuil alpha (souvent 0,05), l’hypothèse nulle est rejetée et on conclut qu’il y a des différences significatives entre les variances des groupes. Sinon, on accepte l’hypothèse nulle et les variances des groupes sont considérées comme égales.

2. Test de Bartlett

Le test de Bartlett est un test paramétrique utilisé pour tester l’égalité des variances entre plusieurs groupes. Contrairement au test de Levene, le test de Bartlett suppose que les données suivent une distribution normale dans chaque groupe. Si cette hypothèse est respectée, le test de Bartlett est plus puissant que d’autres tests de variance.

• Hypothèses :

  • H₀ (hypothèse nulle) : Les variances des groupes sont égales.

  • H₁ (hypothèse alternative) : Les variances des groupes ne sont pas égales.

• Procédure : Le test de Bartlett se base sur le rapport de la variance observée aux variances attendues sous l’hypothèse nulle. Il utilise une statistique basée sur le logarithme de la variance estimée dans chaque groupe, ajustée pour la taille des échantillons et le nombre de groupes.

• Formule pour le test de Bartlett :

  $$\chi^2 = \frac{(N-k)}{(k-1)} \cdot \ln \left( \frac{ \prod_{i=1}^{k} S_i^2 }{ S^2 } \right)$$

  Où :

  • $N$ est le nombre total d’observations,

  • $k$ est le nombre de groupes,

  • $S_i^2$ est la variance de chaque groupe,

  • $S^2$ est la variance combinée des groupes.

• Interprétation : Si la p-valeur est inférieure à un seuil alpha (souvent 0,05), l’hypothèse nulle est rejetée et on conclut qu’il existe des différences significatives entre les variances des groupes. Si la p-valeur est supérieure, on accepte l’hypothèse nulle et les variances sont considérées comme égales.

Conclusion

Le choix entre le test de Levene et le test de Bartlett dépend de l’hypothèse sur la normalité des données. Si les données sont supposées normales, le test de Bartlett peut être plus puissant, mais si cette hypothèse est douteuse, le test de Levene est une alternative plus robuste. Ces tests sont essentiels pour vérifier les conditions nécessaires à d’autres tests statistiques comme le test ANOVA ou les tests de comparaison de moyennes.